데카르트의 좌표계, 기하학에서 대수학으로 [생활속의철학]

데카르트의 좌표계

데카르트

출생 - 사망    1596.3.32. ~ 1650.2.12.

 
고대문명이 예외 없이 큰 강 유역에서 일어난 것은 농업과 밀접한 관계가 있다. 그러나 강은 비가 많이 오면 넘치기 마련이다. 우기에 강이 범람하고 나면 측량이 필요하였고, 측량의 필요성은 기하학의 발달을 촉진하였다. 따라서 나일강의 이집트 문명, 유프라테스강의 바빌로니아 문명, 갠지즈강의 인도 문명, 황하와 중국의 고대문명에서 기하학의 발달은 필수적이었다. 이집트의 피라미드를 기하학의 발달 없이 상상할 수 있을까?

그러나 이처럼 고대문명권에서 공통적으로 관찰되는 기하학의 발달은, 현재의 관점에서 볼 때 일종의 ‘경험적’이었다고 부를 수 있을 것 같다. 예를 들어 어떤 도형의 면적을 구하는 공식이 알려졌더라도 확실히 증명된 것이 아닌 경우가 많았다. 그러나 그리스인은 측량술에서 출발한 기하학을 전혀 새로운 차원에서 접근하였다. 즉 그 자체로는 증명될 수 없지만 자명한 진리라고 간주되는 몇 개의 공리(公理, Axiom)로부터 원칙적으로 무한히 많은 모든 기하학의 정리(定理, Theorem)가 ‘연역적’으로 증명될 수 있다는 공리체계는 오로지 그리스에서만 발명되었다. 바로 이런 점에서 유클리드(Euclid)의 공리체계는 서양에서 학문에서 진리를 발견하는 방법론의 모범으로 간주되었고, 그런 의미에서 서양문화의 기초 중의 하나로 인정되었다.

이처럼 극히 효율적인 증명체계를 발명한 그리스인도 도형이 갖는 의미를 충분히 분석한 것은 아니었다. 예를 들어 그리스 수학에서 원주상의 모든 점이 중심으로부터 같은 거리에 놓여 있다는 원의 본질적 속성을 잘 알고 있더라도 이 속성을 수학의 언어로 표현하지는 못했다. 결과적으로 그리스 기하학에서는 도형을 그리는 행위가 기본이었으며, 이런 행위로 그려진 도형은 항상 그 전체로서만 의미를 지닐 수 있었다. 이 점은 기하학에서 작도 문제가 갖는 의미를 생각하면 분명하다. 콤파스와 자를 갖고 실제로 선을 긋고 나누거나 교점을 만들 때, 우리는 항상 직선긋기, 콤파스 돌리기 등 일련의 ‘획(劃)’을 증명절차의 기본 행위단위로 사용한다.

기하학을 대수적으로 표현하다
수학의 큰 흐름을 바꾼 데카르트의 사상

 
수학의 역사에서 도형의 점이 갖는 의미를 더 분석하여 기하학을 대수적으로 표현할 수 있는 도구를 발명하여 수학의 주류를 바꾼 사람은 바로 ‘근대철학의 아버지’라고 불리는 데카르트이다. 1596년에 출생한 데카르트는 16세가 되던 해 수도 파리로 가 예수회 계열의 학교에서 공부를 시작하면서 1615~1616 두 해에 걸쳐서 수학을 집중적으로 공부하였다.

그러나 당시 지위가 있는 가문의 자제는 성직과 군인 둘 중의 하나를 직업으로 선택하는 것이 일반적이었다. 데카르트는 당시의 전통과 집안의 권유를 따라 군인을 선택하였으나 병약하고 내성적인 성격의 소유자였던 그에게 군인은 어울리는 직업이 아니었다. 1617년 장교가 되어 네덜란드로 가게 된 데카르트는 거리에 걸려 있는 네덜란드어로 쓰인 플래카드를 보게 되었다. 호기심이 발동한 그는 지나가는 행인에게 그 내용을 프랑스어나 라틴어로 번역해 줄 것을 부탁하였는데, 공교롭게도 그 행인은 홀랜드 대학의 학장이었던 베크만(Isaac Beeckman)이었다.

베크만은 데카르트에게 ‘자신이 제시하는 기하학 문제를 하나 풀면 청을 들어 주겠다’는 조건을 달았다. 사실 베크만이 제시한 문제는 그때까지 아무도 풀지 못한 문제였으나, 데카르트는 몇 시간 만에 풀어와 베크만을 놀라게 하였다. 이 사건과 베크만과의 친교는 데카르트에게 직업으로서 군인에 회의를 갖게 만들었다. 결국 1621년 군인의 길을 포기하고 이후 5년간 여행을 하면서 순수 수학에 몰두하였다. 1626년 파리에 정착한 그는 소일거리로 광학기구를 만들던 중에, 1628년 당시 파리의 추기경이었던 피에르 드 베륄(Pierre de Bérulle)과의 만남을 갖게 된다. 추기경은 데카르트와의 대화에서 그의 명석함에 감명을 받아 오로지 진리탐구에만 전념할 것을 권하였다. 데카르트는 추기경의 충고를 받아들여 모든 간섭과 의무를 피해 다시 네덜란드로 건너갔다. 1637년 데카르트는 그의 유명한 ‘생각한다, 고로 존재한다(cogito ergo sum)’는 명제를 담은 [방법서설](이성의 올바른 사용과 과학에서 진리탐구의 방법에 대한 서설)을 출판하였다. [방법서설]은 그 원제명이 말해주듯이 우주의 진리탐구에 대한 일반이론을 개발하기 위하여 나온 책으로서 세 개의 자연과학과 관련된 부록 [광학], [기상학], [기하학]이 추가되었다. ‘해석기하학(analytical geometry)’이라고 부르게 된 기하학과 대수학의 융합은 바로 세 번째 부록 [기하학]에 탄생하였다.

기하학과 대수학의 융합 - 해석기하학의 탄생
좌표계 도입이라는 획기적인 발상

 
해석기하학은 흔히 생각하듯이 단순히 기하학에 대수학을 적용한 것이 아니다. 예를 들어 그리스 기하학자 아르키메데스는 원주율(π)을 계산하기 위해 96각형을 원의 근사치로 삼아 π가 3+10/71과 3+1/7 사이에 있음을 증명하였을 때 이미 기하학에 대수학을 적용한 것이다. 데카르트의 해석기하학에서 보여준 획기적 발상은 평면상의 모든 점에 그 점만이 갖고 있는 고유한 속성을 체계적으로 부여하고, 이 속성을 일종의 이름으로 사용할 수 있는 좌표계의 도입에 있다.

즉 임의의 점을 기준점(O)으로 잡고, 이 점을 통과하는 두 개의 직교하는 직선을 각각 x축(X)과 y축(Y)으로 삼는다면 두 개의 실수쌍 (x, y)으로 평면상의 모든 점을 정의할 수 있다. 이것이 해석기하학의 첫 번째 단계라고 할 수 있다. 다음으로는 이처럼 정의된 평면좌표계에서 특정한 방정식 f(x, y)=0을 만족시키는 무수히 많은 점들의 집합을 우리는 특정한 곡선으로 정의할 수 있다. f(x, y)=0를 곡선 위의 점들이 만족시킨다는 점에서 바로 이 f를 곡선의 기하학적 속성이라고 정의하여도 무방하다. 이처럼 도형을 구성하는 모든 점들이 만족시키는 수식을 발견할 경우, 우리는 그 수식을 도형의 대수적 표현으로 간주하고, 실제 도형 대신에 바로 이 대수식을 다룸으로써 기하학의 문제를 대수학의 문제로 전환할 수 있게 되었다. 따라서 작도(作圖)라는 행위 대신에 대수식으로부터 연역적인 계산을 통해서 기하학의 문제를 풀 수 있게 되었다.

즉 행위가 언어로 환원되어 쉽게 계산(조작)가능하게 된 것이다. 예를 들어 두 선의 교차점을 구하기 위하여 과거에는 실제로 선을 긋고 기하학적 정리를 통하여 그 점의 위치속성을 찾아내야만 했지만, 이제는 바로 두 곡선을 표현하는 두 개의 방정식 f(x, y)와 g(x, y)를 동시에 만족시키는 해(解)가 바로 그 교차점의 위치속성을 의미하는 좌표로 이해될 수 있게 되었다. 원래는 전혀 무관하였던 ‘두 선이 만난다’는 것과 ‘두 방정식의 공통해’가 바로 데카르트가 도입한 좌표계에 의해 동일한 의미를 지니게 된 것이다.

뉴턴과 라이프니츠의 미적분 발명
수학 분야의 혁명을 견인한 데카르트의 좌표계

 
해석기하학에 의한 좌표계의 도입은 우리의 일상생활에서 이제는 필요불가분한 생활의 일부가 되었다. 설계에 필수적인 CAD 프로그램이나 수많은 차들에 장착되어 있는 GPS 역시 좌표계의 응용임은 물론이다. 그러나 무엇보다도 수학의 분야에서 좌표계의 도입은 혁명적이었다. 데카르트보다 약 반 세기 후에 태어난 영국과 대륙의 두 천재 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)가 미적분(calculus)을 발명할 수 있었던 것도 바로 좌표계에 기초한 대수적 함수의 개념이 데카르트에 의해 도입되었기 때문이다. 도형 전체를 좌표계의 점으로 분해하여 해상도를 높인 것이 이런 엄청난 결과를 낳은 것이다.

다른 한편 작도라는 ‘유한한 행위’를 ‘무수히 많은 점(數)’들이 만족시키는 대수식으로 표현한 것은 논리학의 역사에서 큰 논란을 낳게 된다. 즉 그리스 수학의 주류였던 기하학에서 증명이란 항상 유한한 행위를 거쳐서 종결되어야만 했으나, 수학의 주류가 대수학으로 넘어간 이후 19세기 칸토르(Cantor)에 의해 도입된 무한집합의 도입은 수학에서 유한성의 확보를 불투명하게 만들었다. 바로 이 점이 네덜란드의 수학자 브라우어(Brouwer)가 논리적 원칙으로서 배중률1)(Law of excluded middle)에 대해 의문을 제기하면서 논리학에서 이른바 직관주의2)(Intuitionism)를 제창하게 된 역사적 배경인 것이다. 유한성이 확보된 그리스 수학에서 ‘어떤 명제가 옳은지, 아니면 그 명제의 부정이 옳은지’는 항상 확인 가능하며, 따라서 배중률도 문제없이 논리적 원칙으로 사용할 수 있다. 그러나 ‘2보다 큰 모든 짝수가 두 개의 소수(素數)의 합으로 표시된다’는 골드바하의 추측(Goldbach's conjecture)은 모든 짝수를 검토하는 행위가 불가능하다는 점에서, 또 연역적으로 증명도 반증도 되지 않고 있다는 점에서 브라우어에 의하면 배중률을 적용할 어떤 근거도 없다. 그럼에도 불구하고 일종의 관성으로 수학자들은 계속 배중률을 적용하고 있다는 것이다.

전혀 다른 두 개의 사건을 동일한 것으로 보는 능력을 우리는 보통 독창적 사고라고 부른다. 원래 병약하여 아침 늦게까지 침대에 드러누워 있던 데카르트는 방안의 파리가 천정에서 움직이는 것을 보고 좌표계에 대한 천재적 발상을 하였다는 설(說)도 있다. 실제로 1647년 파스칼(Pascal)을 만나서 데카르트는 “그가 수학에서 좋은 작업을 할 수 있고, 그나마 건강을 유지할 수 있는 것은 스스로 일어나야겠다고 느끼기 전에는 아침에 어느 누구도 자신을 깨우지 못하게 하였기 때문이다”라고 말한 적이 있다. 이처럼 늦게 일어나는 일에 습관이 된 데카르트가 1649년 스웨덴의 여왕 크리스티나에게 초대되어 여왕의 스승이 된 것은 치명적 결과를 낳았다. 크리스티나는 이른 아침에 수업을 할 것을 요구하였고, 데카르트는 스웨덴에 간 지 불과 반 년 만에 수면부족으로 저항력이 약화되어 폐렴으로 죽었다.

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🏛️ 고대 기하학: 경험에서 공리로

고대 문명은 모두 큰 강 유역에서 발흥했는데, 이는 농업 때문이었고, 범람하는 강 때문에 주기적으로 측량이 필요했습니다. 이러한 필요성은 자연스럽게 기하학의 발전을 이끌었죠. 이집트의 피라미드나 바빌로니아의 도시 계획은 기하학 없이는 불가능했습니다.

하지만 고대 문명의 기하학은 대체로 경험적이었습니다. 어떤 도형의 면적을 구하는 공식을 발견했더라도, 그 공식이 왜 유효한지 논리적으로 증명하기보다는 경험적으로 사용했습니다. 🔬 그러나 고대 그리스인들은 이 기하학을 완전히 새로운 차원으로 끌어올렸습니다. 그들은 유클리드를 통해, 몇 개의 자명한 **공리(Axiom)**로부터 모든 기하학적 **정리(Theorem)**를 연역적으로 증명할 수 있는 공리 체계를 발명했죠. 이는 서양 학문에서 진리를 탐구하는 방법론의 모범이 되었고, 서양 문화의 기초 중 하나로 자리 잡았습니다.

그럼에도 불구하고, 그리스 기하학에는 한계가 있었습니다. 그것은 도형을 전체적인 형태로만 다루었다는 점입니다. 예를 들어, 원의 본질을 잘 알고 있었지만, 그 본질을 수식으로 표현하지는 못했습니다. 따라서 증명 과정은 항상 **작도(作圖)**라는 물리적 행위에 의존했습니다. 자와 콤파스로 선을 긋고 교점을 만드는 일련의 '획'이 증명의 기본 단위였던 것이죠.

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🌌 기하학과 대수학의 융합: 해석기하학의 탄생

이러한 고대 기하학의 한계를 극복하고 수학의 역사를 바꾼 인물이 바로 데카르트입니다. 그는 기하학을 대수적으로 표현하는 획기적인 도구를 발명했는데, 이것이 바로 **해석기하학(analytical geometry)**입니다. 🤯

그의 천재적인 발상은 바로 좌표계의 도입에 있었습니다. 그는 평면상의 모든 점에 고유한 이름을 부여하는 방법을 고안했습니다. 📍 임의의 점을 기준점(원점)으로 삼고, 두 개의 직교하는 직선(x축과 y축)을 설정하면, 평면 위의 모든 점을 **실수쌍 (x, y)**으로 나타낼 수 있게 됩니다. 이것이 해석기하학의 첫 단계였죠.

다음으로, 그는 특정 곡선 위의 모든 점들이 만족하는 방정식 f(x, y) = 0을 정의했습니다. 이 방정식을 통해 우리는 실제 도형 대신 대수식을 다룰 수 있게 되었고, 기하학 문제를 대수학 문제로 전환할 수 있게 되었습니다. ✍️ 과거에는 두 선의 교차점을 찾기 위해 직접 선을 긋고 작도해야 했지만, 이제는 두 곡선을 나타내는 두 개의 방정식을 연립하여 공통해를 구하면 그만이었죠. 이 해가 바로 두 선의 교차점의 좌표가 되는 것입니다. 이처럼 데카르트는 '두 선이 만난다'는 기하학적 사실과 '두 방정식이 공통해를 갖는다'는 대수학적 사실을 동일한 의미로 연결했습니다.

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🚀 뉴턴과 라이프니츠의 미적분 발명

데카르트의 좌표계 도입은 단순히 기하학을 편리하게 만든 것을 넘어, 수학 분야에 혁명적인 영향을 미쳤습니다. 💥 그의 발명 덕분에 뉴턴과 라이프니츠가 **미적분(calculus)**을 발명할 수 있는 토대가 마련되었습니다. 미적분은 곡선의 접선(미분)과 곡선이 둘러싼 면적(적분)을 구하는 도구인데, 이는 모두 좌표계에 기초한 함수의 개념이 없이는 불가능했습니다.

데카르트는 작도라는 '유한한 행위'를 '무수히 많은 점(수)'들의 집합인 대수식으로 표현했는데, 이 과정에서 무한성의 문제가 수면 위로 떠오르게 됩니다. 고대 그리스 수학은 유한한 작도를 통해 모든 증명이 이루어졌기 때문에 명제의 참/거짓을 항상 확인할 수 있었고, **배중률(Law of excluded middle)**과 같은 논리적 원칙이 문제없이 적용되었습니다. ♾️ 그러나 수학의 주류가 대수학으로 넘어가면서, **'2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 표시된다'**는 골드바흐의 추측처럼, 모든 경우를 유한한 행위로 검토할 수 없는 문제들이 등장했습니다. 이로 인해 수학에서 논리적 원칙의 유효성에 대한 근본적인 의문이 제기되기도 했죠.

데카르트가 이토록 위대한 발상을 하게 된 계기에 대한 재미있는 일화가 있습니다. 그는 병약하여 늦잠을 즐겨 잤는데, 어느 날 아침 침대에 누워 천장에 있는 파리가 움직이는 것을 보고 파리의 위치를 두 개의 수로 표현하는 아이디어를 떠올렸다는 설이 있죠. 🦟 불행히도, 늦잠 습관은 그의 삶을 단축시키는 결과를 낳았습니다. 스웨덴 여왕의 초대를 받아 새벽에 수업을 하던 그는 결국 수면 부족으로 저항력이 약화되어 폐렴으로 생을 마감했습니다. 😪

데카르트의 해석기하학은 단순히 수학적 도구를 넘어, 우리가 세상을 바라보는 방식을 바꾼 혁명적 사건이었습니다. 그의 좌표계는 오늘날 GPS, 컴퓨터 그래픽 등 우리 생활 곳곳에서 없어서는 안 될 중요한 역할을 하고 있습니다.